A fictitious domain model for the Stokes/Brinkman problem with jump embedded boundary conditions

We present and analyse a new fictitious domain model for the Brinkman or Stokes/Brinkman problems in order to handle general jump embedded boundary conditions (J.E.B.C.) on an immersed interface. Our model is based on algebraic transmission conditions combining the stress and velocity jumps on the interface Σ separating two subdomains: they are well chosen to get the coercivity of the operator. It is issued from a generalization to vector elliptic problems of a previous model stated for scalar problems with jump boundary conditions [2,3]. The proposed model is first proved to be well-posed in the whole fictitious domain and some sub-models are identified. A family of fictitious domain methods can be then derived within the same unified formulation which provides various interface or boundary conditions, e.g. a given stress of Neumann or Fourier type or a velocity Dirichlet condition. In particular, we prove the consistency of the given-traction E.B.C. method including the so-called do nothing outflow boundary condition. To cite this article: Ph. Angot, C. R. Math. Acad. Sci. Paris (2010). Résumé Un modèle de domaine fictif pour le problème de Stokes/Brinkman avec des conditions de saut immergées. Nous présentons l’analyse d’une nouvelle méthode de domaine fictif pour des problèmes de Brinkman ou de Stokes/Brinkman permettant de trâıter des conditions de sauts (J.E.B.C.) immergées générales. Notre modèle est basé sur des conditions de transmission algébriques combinant les sauts des vecteurs contrainte et vitesse sur l’interface Σ séparant deux sous-domaines. Elles sont bien choisies de façon à guarantir la coercivité de l’opérateur et issues de la généralisation à des problèmes elliptiques vectoriels d’un modèle établi dans le cas scalaire [2,3]. On prouve tout d’abord que le modèle proposé est globalement bien posé dans tout le domaine fictif et on en identifie certains sous-modèles. Une classe de méthodes est ensuite proposée dans la même formulation unifiée qui permet d’obtenir des conditions aux limites variées, comme par exemple une contrainte donnée de type Neumann ou Fourier ou une vitesse imposée sur la frontière immergée. En particulier, nous prouvons la consistance de la méthode E.B.C. pour une condition de traction imposée qui inclue la condition usuelle de sortie ouverte de l’écoulement. Pour citer cet article : Ph. Angot, C. R. Math. Acad. Sci. Paris (2010). Version française abrégée Dans la Section 1, le problème aux limites originel de Brinkman (1-4) défini dans Ω̃, avec une condition aux limites de Dirichlet sur le vecteur vitesse ou sur le vecteur pseudo-traction, est d’abord “immergé” dans le domaine fictif plus grand Ω, polygonal et de forme géométrique simple, voir Fig. 1. Cette extension Email address: [email protected] URL : http ://www.latp.univ-mrs.fr (Philippe Angot). Preprint submitted to C. R. Math. Acad. Sci. Paris 17 avril 2010 (5-9) est une généralisation au présent cas vectoriel du modèle de fracture proposé dans [2] où un schéma numérique en volumes finis y est également décrit et analysé pour le résoudre. Les sauts de la vitesse [[u]]Σ et du vecteur contrainte [[σ(u, p)·n]]Σ sur l’interface immergée Σ sont reliés par deux conditions de transmission algébriques (8-9). Le problème de domaine fictif (5-9) proposé est globalement bien posé dans l’espace W × L(Ω), cf Théorème 1.1. Les paramètres du modèle sur Σ ou dans Ωe sont ensuite déterminés dans la Section 2 pour satisfaire exactement ou de façon approchée la condition aux limites immergée (19) de traction imposée par analogie avec la classe de méthodes proposée dans [3] pour un problème elliptique scalaire et numériquement validée dans [16,17]. Il apparâıt que le choix simple M = 4S permet de satisfaire (19) avec (18), indépendamment de tout contrôle extérieur dans Ωe ou pénalisation de surface sur Σ. On montre dans le Théorème 2.1 que cette méthode (20) est consistante, i.e. u|Ω̃ = ũ et p|Ω̃ = p̃ presque partout dans Ω̃. D’autres variantes peuvent aussi être exhibées qui permettent à l’équation (17) dérivée de (8-9), d’approcher (19) par des techniques de pénalisation surfacique sur Σ ou volumique dans Ωe de type H 1 voire L, cf [1,5,9,3]. 1. Fictitious domain model with embedded stress and velocity jumps on Σ Notations. Let the domain Ω ⊂ R (d= 2 or 3 in practice) be an open bounded set, generally chosen convex and polygonal. Let an interface Σ ⊂ Rd−1, Lipschitz continuous, separate Ω into two disjoint connected subdomains Ω̃ and Ωe such that Ω = Ω̃∪Σ∪Ωe. The boundaries of the domains are respectively defined by: ∂Ω̃ = Γ∪Σ for Ω̃, ∂Ωe = Γe∪Σ for Ωe and ∂Ω = Γ∪Γe for Ω, see Fig. 1, assuming no cusp at Σ∩∂Ω in (b). Let n be the unit normal vector on Σ oriented from Ω̃ to Ωe. For a function ψ in H(Ω̃∪Ωe), let ψ− and ψ be the traces of ψ|Ω̃ and ψ|Ωe on each side of Σ respectively, ψ|Σ = (ψ + ψ−)/2 the arithmetic mean of traces of ψ, and [[ψ]]Σ = (ψ + − ψ−) the jump of traces of ψ on Σ oriented by n.